Question

如圖，有一矩形鋼板ABCD缺損了一角（圖中陰影部分），邊緣線OM上每一點(diǎn)到D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個(gè)五邊形，若AB=1米，AD=0.5米，向如何畫切割線EF可使剩余部分五邊形ABCEF的面積最大？

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，表示出三角形DEF的面積S_△DEF，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性可得何時(shí)取最小值即得當(dāng)x=

3

6

時(shí)，S_△EFD取得最小值，相應(yīng)地，五邊形ABCEF的面積最大．

解答：解：由條件易知邊緣線OM是以點(diǎn)D為焦點(diǎn)，直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的一部分
以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在的直線為y軸，則D（0，

1

4

）M（

1

2

，

1

4

），易得邊緣線OM所在的拋物線方程為：y=x²（0≤x≤

1

2

）
要使如圖的五邊形ABCEF的面積最大，則必有EF所在的直線與拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為P（t，t²）則直線EF的方程為y=2t（x-t）+t²即y=2tx-t²由此可求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E（

1+4t2

8t

，

1

4

）F（0，-t²）
∴S△DEF=

1

2

×

1+4t2

8t

×(

1

4

+t2)=

16t4+8t2+1

64t

，t∈(0，

1

2

)
∵

S

′ △EFD

=

1

64

48t2+8t2-1

t2

=

(12t2-1)(4t2+1)

64t2

=

3(4t2+1)(t+ 3 6 )(t- 3 6 )

16t2

顯然函數(shù)在（0，

3

6

]上是減函數(shù)，在[

3

6

，

1

2

]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=

3

6

時(shí)，S_△EFD取得最小值，相應(yīng)地，五邊形ABCEF的面積最大．
此時(shí)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E（

3

3

，

1

4

），F(xiàn)（O，-

1

12

）
即沿直線EF的線段切割可使五邊形ABCEF的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過題意求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性達(dá)到求五邊形面積最大值的要求．