Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a²+b²=c²+

3

ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求

3

a-b的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，即可確定出角C的值；
（Ⅱ）由C的度數(shù)求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，根據(jù)三角形ABC為銳角三角形，求出A的范圍，再由c與sinC的值，利用正弦定理表示出a與b，代入所求式子中化簡，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²+b²=c²+

3

ab，即a²+b²-c²=

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=

π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A+B=

5π

6

，即B=

5π

6

-A，
又△ABC為銳角三角形，
∴

0＜ 5π 6 -A＜ π 2 0＜A＜ π 2

，
解得：

π

3

＜A＜

π

2

，
∵c=1，sinC=

1

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，即a=2sinA，b=2sinB，
∴

3

a-b=2

3

sinA-2sinB=2

3

sinA-2sin（

π

6

+A）=2

3

sinA-cosA-

3

sinA=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

）
∵

π

3

＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜A-

π

6

＜

π

3

，
∴

1

2

＜sin（A-

π

6

）＜

3

2

，
則

3

a-b∈（1，

3

）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．