Question

（2013•天津一模）在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=

3

，E，F(xiàn)分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求銳二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B點(diǎn)到平面CEF的距離．

Answer 1

分析：（I）取AC中點(diǎn)O，并以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．給出A、B、S、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到向量

AC

、

SB

的坐標(biāo)，計(jì)算出數(shù)量積

AC

•

SB

=0，即可證出AC⊥SB；
（II）根據(jù)題意，算出向量

CE

、

EF

的坐坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組解出

n

=(

2

，-

6

，1)為平面CEF的一個(gè)法向量，而

OS

=(0，0，

2

)為平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式算出

n

、

OS

夾角的余弦值，即可得到銳二面角F-CE-B的余弦值；
（III）在平面CEF內(nèi)取點(diǎn)B，得到向量

EB

=(-

1

2

，

3

2

，0)，根據(jù)空間坐標(biāo)系點(diǎn)到平面的距離公式，即可算出點(diǎn)B到平面CEF的距離為d=|

n • EB

| n |

|=

2 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，根據(jù)題意可得OA、OB、OS兩兩互相垂直，
因此以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OS為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），
B(0，

3

，0)，S(0，0，

2

)，E(

1

2

，

3

2

，0)，F(0，

3

2

，

2

2

)，C（-1，0，0）
∴

AC

=(-2，0，0)，

SB

=(0，

3

，-

2

)
∵

AC

•

SB

=-2×0+0×

3

+0×(-

2

)=0
∴

AC

⊥

SB

，即得AC⊥SB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CE

=(

3

2

，

3

2

，0)，

EF

=(-

1

2

，0，

2

2

)，
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面CEF的一個(gè)法向量，
則

CE • n = 3 2 x+ 3 2 y=0 EF • n =- 1 2 x+ 2 2 z=0

，取z=1，得x=

2

，y=-

6

．
∴平面CEF的一個(gè)法向量為

n

=(

2

，-

6

，1)．
又∵

OS

=(0，0，

2

)為平面ABC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

，
結(jié)合題意二面角F-CE-B是一個(gè)銳二面角，所以二面角F-CE-B的余弦值為

1

3

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得

EB

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∵

n

=(

2

，-

6

，1)為平面CEF的一個(gè)法向量
∴由點(diǎn)到平面的距離公式，可得
點(diǎn)B到平面CEF的距離為 d=|

n • EB

| n |

|=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為等邊三角形且一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小和點(diǎn)到平面的距離．著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點(diǎn)到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識(shí)，屬于中檔題．