【題目】將邊長為的正三角形利用平行于邊的直線剖分為
個邊長為1的小正三角形.圖3為
的情形.證明:存在正整數(shù)
,使得小三角形的頂點中可選出2000
個點,其中,任意三點均不構(gòu)成正三角形.
【答案】見解析
【解析】
首先證明一個引理.
引理 若邊長為的正三角形內(nèi)部(不含邊界)可選出
個點(而不構(gòu)成三角形),則邊長為3
的正三角形可選出4
個點.
證明 事實上,邊長3的正三角形可分為9個邊長
的正三角形,如圖1,其中,4個(編號1、2、3、4)分別可選出
個點(不構(gòu)成正三角形).
圖1
下面證明:這4個點一起也不構(gòu)成正三角形.任取其中三點
.
【情形1】
三點在同一編號的三角形內(nèi).
據(jù)該三角形內(nèi)個點的選取方式,故點
不構(gòu)成三角形.
【情形2】
兩點(不妨設(shè))在同一編號三角形,另一點在其余編號三角形內(nèi).
考慮含兩點的三角形,如圖2.據(jù)平面幾何知識,知與
形成正三角形的第三個頂點應(yīng)在一個“大三角形”內(nèi),該大三角形以
為中位三角形.圖1中每個編號的三角形的大三角形與其余編號的三角形并無交集.故點
不構(gòu)成正三角形.
圖2
【情形3】
每個點在不同編號的三角形內(nèi).
據(jù)對稱性,只需考慮編號為1、2、4或2、3、4兩種.
前一種,不妨設(shè)點分別在編號1、2、4三角形內(nèi).則
兩點均在
,但以
為中位三角形的大三角形與編號4的三角形并無交集.
后一種,不妨設(shè)點分別在編號2、3、4三角形內(nèi).則
兩點均在
內(nèi),但以
為中位三角形的大三角形與編號3的三角形并無交集.
于是,兩種類型均有點不構(gòu)成正三角形.
綜合以上三種情形,引理得證.
如圖,邊長為3的正三角形內(nèi)部(不含邊界)可選出一個點(而不形成正三角形).用上述結(jié)論,可歸納證明:邊長為的三角形內(nèi)(不含邊界)可選出
個點(而不構(gòu)成正三角形).
只要證明:存在,使得
.
由,知存在
,使得
.
從而,.
令即得.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),等腰梯形,
,
,
,
、
分別是
的兩個三等分點.若把等腰梯形沿虛線
、
折起,使得點
和點
重合,記為點
,如圖(2).
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓上一點
關(guān)于原點的對稱點為點
,
為其右焦點,若
,設(shè)
,且
,則該橢圓離心率
的取值范圍為 ( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次,至少擊中3次的概率;先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0、1、2表示沒有擊中目標(biāo),3、4、5、6、7、8、9表示擊中目標(biāo),以4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20隨機數(shù):
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為( )
A.0.55B.0.6C.0.65D.0.7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點
,且與定直線
相切.
(1)求動圓圓心的軌跡
的方程;
(2)過點的任一條直線
與軌跡
交于不同的兩點
,試探究在
軸上是否存在定點
(異于點
),使得
?若存在,求點
的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,
,記
.
(1)求曲線在
處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時,若函數(shù)
沒有零點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,將函數(shù)
的圖象向右平移
個單位長度,再向下平移
個單位長度后,得到函數(shù)
的圖象.
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)當(dāng)時,求
在區(qū)間
上的最大值和最小值;
(3)若函數(shù)在
上的最小值為
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在
上的偶函數(shù),且
時,
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的值域
;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的定義域為集合
,若
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為的函數(shù)
是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)當(dāng)時,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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