Question

已知P為曲線E上的任意一點，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求曲線E的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△F₂F₁P的面積．

Answer 1

解：（1）∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4．
因此，曲線E表示以F₁、F₂為焦點，長軸2a=4的橢圓，c=1，b²=a²-c²=3
∴曲線E的方程為
（2）∵△F₂F₁P中，∠F₂F₁P=120°，F(xiàn)₁F₂=2
∴根據(jù)余弦定理，得|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁||F₁F₂|cos120°，
化簡得|PF₁|²-|PF₂|²+2|PF₁|+4=0…①
又∵|PF₁|+|PF₂|=4，得∴②代入①，得|PF₁|=
根據(jù)正弦定理，可得△F₂F₁P的面積S=|PF₁||F₁F₂|sin120°=．
分析：（1）因為|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4，所以曲線E表示以F₁、F₂為焦點，長軸2a=4的橢圓，得曲線E的方程為；
（2）在△F₂F₁P中由余弦定理，得|PF₁|²-|PF₂|²+2|PF₁|+4=0…①，又|PF₁|+|PF₂|=4，得|PF₂|²=16-8|PF₁|+|PF₁|²…②，根據(jù)①、②聯(lián)解，得|PF₁|=，最后用正弦定理可得△F₂F₁P的面積．
點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點的張角為120度，求該點與兩個焦點構(gòu)成三角形的面積，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．