已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動(dòng)圓過(guò)F2且與直線(xiàn)x=-1相切，求動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點(diǎn)M，N，橢圓C1上有兩點(diǎn)P，Q，滿(mǎn)足
MF2
與
NF2
共線(xiàn)，
PF2
與
QF2
共線(xiàn)，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．
分析：（1）由題設(shè)知
c
a
=
1
2
2a=4
，由此能求出橢圓C1方程．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），由動(dòng)圓過(guò)
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)F2（1，0），且與直線(xiàn)x=-1相切，知
(x-1)2+y2
=|x+1|，由此能求出動(dòng)圓圓心軌跡C方程．
（3）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，|MN|=4，SPMQN=8；當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：y=k（x-1），直線(xiàn)PQ的方程為y=
1
k
（x-1），設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由
y=k(x-1)
y2=4x
，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由拋物線(xiàn)定義可知：|MN|=|MF2|+|NF2|=4+
4
k2
，由此能求出四邊形PMQN面積的最小值．
解答：解：（1）∵橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，
F1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P到F1與F2距離之和為4，
∴
c
a
=
1
2
2a=4
，解得a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
∴橢圓C1方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），
∵動(dòng)圓過(guò)
x2
4
+
y2
3
=1的右焦點(diǎn)F2（1，0），且與直線(xiàn)x=-1相切，
∴
(x-1)2+y2
=|x+1|，
整理，得動(dòng)圓圓心軌跡C方程為y2=4x．
（3）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，|MN|=4，
此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，|PQ|=4，
從而SPMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
×4×4=8，
設(shè)直線(xiàn)MN的斜率為k，直線(xiàn)MN的方程為：y=k（x-1），
直線(xiàn)PQ的方程為y=
1
k
（x-1），
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
由
y=k(x-1)
y2=4x
，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
由拋物線(xiàn)定義可知：
|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1
=
2k2+4
k2
+2=4+
4
k2
，
由
y=
1
k
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
，消去y得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0，
從而|PQ|=
1+(-
1
k
)2
|x3-x4|=
12(1+k2)
3k2+4
，
∴SPMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
|MN|•|PQ|
=
1
2
（4+
4
k2
）•
12(1+k2)
3k2+4

=24•
(1+k2)2
3k4+4k2
，
令1+k2=t，∵k＞0，則t＞1，
則SPMQN=
24t2
3(t-1)2+4(t-1)

=
24t2
3t2-2t-1

=
24
3-
2
t
-
1
t2
．
因?yàn)?-
2
t
-
1
t2
=4-（1+
1
t
）2∈（0，3），
所以SPMQN=
24
3-
2
t
-
1
t2
＞8，
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和軌跡方程的求法，考查四邊形面積的最小值的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線(xiàn)C2：y2=4x的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在橢圓C1上，對(duì)角線(xiàn)BD所在的直線(xiàn)的斜率為1．
①當(dāng)直線(xiàn)BD過(guò)點(diǎn)（0，
1
7
）時(shí)，求直線(xiàn)AC的方程；
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=
25
4
，其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙曲線(xiàn)C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線(xiàn)方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線(xiàn)C2的離心率；
（2）在第一象限內(nèi)取雙曲線(xiàn)C2上一點(diǎn)P，連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連接PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線(xiàn)l：y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)F1，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn)l2垂直l1于點(diǎn)P，線(xiàn)段PF2的垂直平分線(xiàn)交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點(diǎn)F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線(xiàn)C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線(xiàn)與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線(xiàn)段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線(xiàn)C2：y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線(xiàn)C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線(xiàn)C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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