Question

(本小題滿分13分) 設(shè)橢圓E中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)M（2，）在橢圓上，。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線L交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，且，求△OAB的面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）S。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓E: （a>b>0）過(guò)M（2，） ，2b=4

故可求得b=2,a=2  橢圓E的方程為      ……2分

（2）設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），當(dāng)直線L斜率存在時(shí)設(shè)方程為，

解方程組得,即,

則△=,

即（*）……………………4分

,要使,需使,即,

所以, 即   ①………………………7分

將它代入（*）式可得……………………………8分

P到L的距離為

又

將及韋達(dá)定理代入可得……………………10分

當(dāng)時(shí)

由 故……………12分

當(dāng)時(shí),

當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),  ,

綜上S……………………………13分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問(wèn)題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。