Question

下面關(guān)于三棱錐P-ABC的五個(gè)命題中，正確的命題有     ．①當(dāng)△ABC為等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等時(shí)，三棱錐P-ABC為正三棱錐；②當(dāng)△ABC為等邊三角形，側(cè)面都為等腰三角形時(shí)，三棱錐P-ABC為正三棱錐；③當(dāng)△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A在側(cè)面PBC上的射影是三角形PBC的垂心時(shí)，P-ABC為正三棱錐；④若三棱錐P-ABC各棱相等時(shí)，它的外接球半徑和高的比為3：4：⑤當(dāng)三棱錐P-ABC各棱長(zhǎng)相等時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面PAB內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M到面ABC的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離相等，則M的軌跡為橢圓的一部分．

Answer 1

【答案】分析：本題綜合的考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征、軌跡方程、二面角等知識(shí)點(diǎn)，要想判斷出題目中5個(gè)命題中正確的命題，我們要根據(jù)所學(xué)的定義、概念、性質(zhì)，對(duì)所列的命題逐一進(jìn)行判斷．
解答：解：①∵側(cè)面與底面所成的二面角都相等，故三個(gè)側(cè)面的側(cè)高均相等，
則頂點(diǎn)在底面上的射影到底面三邊的距離也相等，即為底面的內(nèi)心，故①正確．
②顯然不對(duì)，比如三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長(zhǎng)相等的情況，
側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐但不是正三棱錐． 故②錯(cuò)誤
③當(dāng)△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A在側(cè)面PBC上的射影是三角形PBC的垂心時(shí)，P-ABC為正三棱錐，故③正確
④若三棱錐P-ABC各棱相等時(shí)，它的外接球半徑和高的比為3：4，故④正確
⑤當(dāng)三棱錐P-ABC各棱長(zhǎng)相等時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面PAB內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
且點(diǎn)M到面ABC的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離相等，
則M到P的距離與到BC的距離之比為定值，而且介于0到1之間，由橢圓的定義，故⑤正確
故答案為：①③④⑤
點(diǎn)評(píng)：判斷一個(gè)三棱椎是否是正三棱錐，有兩種辦法：①底面為正三角形，側(cè)棱都相等；②底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影落在底面的中心．