Question

如圖，在長方體AC′，已知底面兩鄰邊AB和BC的長分別為3和4，對角線BD′與平面ABCD所成的角為45°，求：
（1）長方體AC′的高AA′；
（2）長方體AC′的表面積；
（3）幾何體C′D′-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)其為長方體得到對角線BD′與平面ABCD所成的角即為∠D′BD，再結合對角線BD′與平面ABCD所成的角為45°，即可求出長方體AC′的高AA′；
（2）直接根據(jù)長方體的表面積等于六個表面的面積之和即可得到結論；
（3）根據(jù)條件分析出所求體積占總體積的一半即可得到結論．

解答：解：（1）因為其為長方體，底面兩鄰邊AB和BC的長分別為3和4，
∴BD=5
故對角線BD′與平面ABCD所成的角即為∠D′BD；
∵對角線BD′與平面ABCD所成的角為45°，
∴∠D′BD=

DD′

BD

=1；
∴DD′=5；
∴高為5；
（2）因為長方體的表面有六個，
所以其表面積即為求六個表面的面積之和．
即：2（3×4+4×5+5×3）=94．
故其表面積為94（平方單位）
（3）因為幾何體C′D′-ABCD占整個長方體的一半，
所以其體積V=

1

2

×3×4×5=30．
即幾何體C′D′-ABCD的體積為30（立方單位）

點評：本題主要考查棱柱的表面積體積計算，屬于基礎題目，是對基礎知識的綜合考查．