Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，腰長為2，P為△ABC外一點，∠BPC=90°．
（1）若PC=

3

，求PA長；
（2）若∠APB=30°，求tan∠PBA．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）在直角三角形BPC中，利用勾股定理求出BP的長，確定出∠BCP的度數(shù)，在等腰直角三角形ABC中，由腰的長求出AC的長，由∠ACB+∠BCP求出∠ACP度數(shù)，在三角形PCA中，利用余弦定理求出PA的長即可；
（2）設(shè)∠PBA=x，則∠PBC=x-90°，∠PAB=150°-x，利用銳角三角函數(shù)定義表示出BP，利用正弦定理求出tanx的值，即為tan∠PBA的值．

解答： 解：（1）在直角△BPC中，∠BPC=90°，BC=2，PC=

3

，
∴根據(jù)勾股定理得：BP=1，即BP=

1

2

BC，
∴∠BCP=30°，
∵等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，
∴在△PCA中，∠PCA=75°，AC=2

2

，
根據(jù)余弦定理，PA²=PC²+AC²-2PC•AC•cos75°，
∵cos75°=cos（45°+30°）=

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

=

6 - 2

4

，
∴PA²=3+8-2×

3

×2

2

×

6 - 2

4

=5+2

3

，
則PA=

5+2 3

；
（2）設(shè)∠PBA=x，則∠PBC=x-90°，∠PAB=150°-x，
在直角△BPC中，BP=2cos（90°-x），
在△PAB中，根據(jù)正弦定理得：

2

sin30°

=

2cos(90°-x)

sin(150°-x)

，即sin（150°-x）=

1

2

sinx，
化簡得tanx=-

3 +1

2

，
則tan∠PBA=-

3 +1

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．