Question

已知函數(shù)：f（x）=ax²+x-a-1，a∈R，g（x）=-2x²-3x-2a
（1）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞g（x）對一切x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；
（2）運用不等式恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可解得范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=2x²+x-3，
由f（x）＞0，即（x-1）（2x+3）＞0，
解得x＞1或x＜-

3

2

．
則解集為{x|x＞1或x＜-

3

2

}；
（2）若f（x）＞g（x）對一切x∈R恒成立，
即有（a+2）x²+4x+a-1＞0，
則當(dāng)a=-2時，4x-3＞0，不恒成立；
當(dāng)a＞-2，則△=16-4（a+2）（a-1）＜0，
解得a＞2或a＜-3．
則a的取值范圍是（-∞，-3）∪（2，+∞）．

點評：本題考查二次不等式的解法，考查不等式的恒成立問題，注意運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．