Question

已知函數為奇函數．
（I）證明：函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數；
（II）解關于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據函數為R上的奇函數，得到f（0）=0，即b=0，所以函數解析式為：．然后用求導數的方法研究其單調性，根據它的導數f'（x）在區(qū)間（1，+∞）上為負數，得到函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數；
（II）首先移項，得到不等式f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．根據函數為奇函數，將原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．注意到括號里的兩個自變量都是不小于1的實數，從而結合函數在區(qū)間（1，+∞）上為減函數，得到1+2x²＜x²-2x+4，解之得-3＜x＜1．從而得到原不等式的解集．
解答：解：（I）∵函數為定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函數解析式為：．
∴對f（x）求導數，得．
∵當x＞1時，＜0成立，
∴函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數．
（II）由f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．
∵f（x）是奇函數，
∴-f（-x²+2x-4）=f（x²-2x+4）．
原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．
又∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上為減函數，
∴1+2x²＜x²-2x+4，即x²+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}
點評：本題以一個分式函數為例，著重研究其單調性和奇偶性，考查了函數奇偶性與單調性的綜合、一元二次不等式的解法等知識點，屬于中檔題．