Question

把一個(gè)半徑為5

3

2

cm的金屬球熔成一個(gè)圓錐，使圓錐的側(cè)面積為底面積的3倍，則這個(gè)圓錐的高為

20

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍得到圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)的關(guān)系，根據(jù)金屬球的體積等于圓錐體積即可求得圓錐底面圓的半徑，從而得出這個(gè)圓錐的高．

解答：解：設(shè)底面圓的半徑為r，側(cè)面展開扇形的半徑為R，
由題意得S_底面面積=πr²，
S_扇形=3S_底面面積=3πr²，
l_{扇形弧長(zhǎng)}=l_{底面周長(zhǎng)}=2πr．
由S_扇形=

1

2

l_{扇形弧長(zhǎng)}×R得3πr²=

1

2

×2πr×R，
故R=3r．即母線長(zhǎng)為3r，∴這個(gè)圓錐的高為

(3r)2-r2

=2

2

r，
根據(jù)題意得，

1

3

×πr²×2

2

r=

4

3

π×(5

3	2

)3
∴r=5

2

．
則這個(gè)圓錐的高為2

2

r=20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積和表面積．通過(guò)圓錐的底面和側(cè)面，結(jié)合有關(guān)圓、扇形的一些計(jì)算公式，重點(diǎn)考查空間想象能力、綜合應(yīng)用能力．熟記圓的面積和周長(zhǎng)公式、扇形的面積和兩個(gè)弧長(zhǎng)公式并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．