Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx-2lnx（a≠0），且f（x）在x=1處取得極值．
（1）試找出a，b的關(guān)系式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=f（x）在的圖象上任意一點處的切線斜率k的最大值．

Answer 1

解：（1）f（x）=a x ²+2 b x-2lnx，得，
因為f（x）在x=1處取得極值，所以f'（1）=0，
故2a+2b-2=0，即b=1-a；
（2）因為函數(shù)f（x）在x∈（0，]上不是單調(diào)函數(shù)，所以f'（x）=0在（0，]內(nèi)有解，
即ax²+bx-1=0，亦即ax²+（1-a）x-1=0在（0，]內(nèi)有解，
由ax²+（1-a）x-1=0得：x=1，或，
所以，解得：a＜-2；
（3）因為k=，
①當(dāng)-4≤a＜0或a＞0時，，
因為，所以k'≥0恒成立，
所以k在上單調(diào)遞增，所以時，k_max=-a-2；
②當(dāng)a＜-4時，有，所以，
所以，此時“=”成立的條件是：x=，
所以k=，
綜合得：
分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)四則運算求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再利用極值的意義，列方程即可得a，b的關(guān)系式
（2）先將問題轉(zhuǎn)化為f'（x）=0在（0，]內(nèi)有解問題，再解一元二次方程，令根在區(qū)間上，解不等式即可得a的范圍
（3）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)在（0，]上的最大值，利用導(dǎo)數(shù)和均值定理，通過分類討論解決問題
點評：本題綜合考查了極值的意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，均值定理及二次函數(shù)的應(yīng)用，分類討論的思想方法