Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域求得結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x+sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，則2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng) 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．