Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；
（3）求證：當(dāng)a＞4時(shí)，函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）= +2﹣a，

由題意，對(duì)任意的x＞0，都有f′（x）= +2﹣a≥0，

只要（ +2x）min≥a，由 +2x≥2 =4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

則a≤4，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，4]；

（2）當(dāng)a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）= +2﹣e= ＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，

∴f（x）＜2，則f（x）＜f（e），

∴0＜x＜e，

故不等式f（x）＜2的解集為（0，e）；

（3）證明：由f′（x）= +2﹣a= ，x∈（0，+∞），

g（x）=2x2﹣ax+2，當(dāng)a＞4時(shí)，△=a2﹣16＞0，

∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有兩個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，

0＜x1＜1＜x2，

則f（x）在區(qū)間（0，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，

g（x1）=2x12﹣ax1+2=0，

∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，

由0＜x1＜1，則f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，

∴f（x2）＜f（x1）＜0，

由f（x）=2lnx+x（x﹣a），則f（a）=2lna＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．

【解析】（1）將函數(shù)在定義域上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)函數(shù)的不等式，再利用基本不等式求得a的取值范圍；（2）求得函數(shù)值為2的自變量，進(jìn)而將函數(shù)值的大小比較利用函數(shù)的單調(diào)性變?yōu)樽宰兞康拇笮”容^，從而求得所給不等式的解集；（3）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，那么f（x）在定義域分成的兩個(gè)連續(xù)的區(qū)間內(nèi)分別大于0和小于0.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．