Question

以下四個命題中，正確的是（　　）

• A、△ABC為直角三角形的充要條件是

  AB

  •

  AC

  =0
• B、若

  OP

  =

  1

  2

  OA

  +

  1

  3

  OB

  ，則P、A、B三點共線
• C、若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }為空間的一個基底，則{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }也構成空間的一個基底
• D、|(

  a

  •

  b

  )•

  c

  |=|

  a

  |•|

  b

  |•|

  c

  |

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用,空間向量及應用

分析：A．由

AB

•

AC

=0，利用數(shù)量積定義可得∠BAC=90°，即△ABC為直角三角形，反之不成立；
B．由

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，可知

1

2

+

1

3

≠1，利用向量共線定理即可判斷出；
C．利用基底的意義即可判斷出；
D．左邊=|

a

| |

b

| |cos＜

a

，

b

＞| |

c

|，右邊=|

a

| |

b

| |

c

|，即可判斷出．

解答： 解：A．由

AB

•

AC

=0⇒|

AB

| |

AC

|cos∠BAC=0⇒cos∠BAC=0⇒∠BAC=90°，即△ABC為直角三角形．
反之不成立，因此

AB

•

AC

=0是△ABC為直角三角形的充分不必要條件，因此不正確；
B．∵

OP

=

1

2

OA

+

1

3

OB

，可知

1

2

+

1

3

≠1，因此P、A、B三點不共線，因此不正確；
C．假設存在實數(shù)滿足

c

+

a

=λ(

a

+

b

)+μ(

b

+

c

)，化為(λ-1)

a

+(λ+μ)

b

+(μ-1)

c

=

0

，
∵{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，∴

λ-1=0 λ+μ=0 μ-1=0

，此方程組無解，因此假設不成立．
∴{

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

}也構成空間的一個基底，因此正確．
D．左邊=|

a

| |

b

| |cos＜

a

，

b

＞| |

c

|，右邊=|

a

| |

b

| |

c

|，
因此左邊=右邊不恒成立，故不正確．
綜上可知：只有D正確．
故選：D．

點評：本題綜合考查了數(shù)量積的意義、空間向量的基底、向量共線定理等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．