【題目】設(shè)a,b是正奇數(shù),數(shù)列{cn}(n∈N*)定義如下:c1=a,c2=b,對任意n≥3,cn是cn1+cn2的最大奇約數(shù).?dāng)?shù)列{cn}中的所有項構(gòu)成集合A.
(1)若a=9,b=15,寫出集合A;
(2)對k≥1,令dk=max{c2k , c2k1}(max{p,q}表示p,q中的較大值),求證:dk+1≤dk;
(3)證明集合A是有限集,并寫出集合A中的最小數(shù).】

【答案】
(1)解:數(shù)列{cn}為:9,15,3,9,3,3,3,

故集合A={9,15,3}.


(2)證明:由題設(shè),對n≥3,cn2,cn1都是奇數(shù),所以cn1+cn2是偶數(shù).

從而cn1+cn2的最大奇約數(shù) ,

所以cn≤max{cn1,cn2},當(dāng)且僅當(dāng)cn1=cn2時等號成立.

所以,對k≥1有c2k+1≤max{c2k,c2k1}=dk

且c2k+2≤max{c2k+1,c2k}≤max{dk,dk}=dk

所以dk+1=max{c2k+2,c2k+1}≤dk,當(dāng)且僅當(dāng)c2k=c2k1時等號成立.


(3)由(2)知,當(dāng)n≥3時,有cn≤max{cn1,cn2}.

所以對n≥3,有cn≤max{c1,c2}=max{a,b}.

又cn是正奇數(shù),且不超過max{a,b}的正奇數(shù)是有限的,

所以數(shù)列{cn}中的不同項是有限的.

所以集合A是有限集.

集合A中的最小數(shù)是a,b的最大公約數(shù)


【解析】(1)利用列舉法寫出數(shù)列{cn},易得集合A;(2)由題設(shè),對n≥3,cn2 , cn1都是奇數(shù),所以cn1+cn2是偶數(shù).從而cn1+cn2的最大奇約數(shù) ,結(jié)合不等式的性質(zhì)進行解答;(3)有限集是指元素的個數(shù)是有限個的集合,從而確定答案.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的表示方法-特定字母法的相關(guān)知識,掌握①自然語言法:用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?②列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法:{|具有的性質(zhì)},其中為集合的代表元素.④圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

練習(xí)冊系列答案
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A.1個
B.2個
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