Question

【題目】（本小題滿分1６分）平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為

（1）求圓O的方程；

（2）若直線與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程；

（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于ｘ軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于ｘ軸于點(diǎn)（ｍ，０）和（ｎ，０），問ｍｎ是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝2.（2）x＋y－2＝0.（3）見解析

【解析】

（1）求出O點(diǎn)到直線x﹣y+1=0的距離，進(jìn)而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長(zhǎng)最小時(shí)，直線l的方程；（3）設(shè)M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1）， ，，求出直線MP、NP分別與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可求mn的值．

（1）因?yàn)?/span>O到直線x－y＋1＝0的距離為 ，

所以圓O的半徑r＝＝，故圓O的方程為x2＋y2＝2.

（2）設(shè)直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，

由直線l與圓O相切，得＝，即＝，

所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（）

＝2≥2

＝8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立)，

此時(shí)直線l的方程為x＋y－2＝0.

（3）設(shè)M(x1，y1)，P(x2，y2)，

則N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，

直線MP與x軸的交點(diǎn)為，即m＝ .

直線NP與x軸的交點(diǎn)為，即n＝.

所以mn＝ ＝

＝＝＝2，

故mn＝2為定值．