Question

設(shè)(3x-

x

)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則展開式中x的有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得(3x-

x

)n的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

，即可得各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值，進(jìn)而可得M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，又由題意，可得4ⁿ-2ⁿ=240，解可得n的值，可得其展開式的通項(xiàng)公式，分析x的指數(shù)可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，(3x-

x

)n的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C_n^r•（3x）^n-r•（-

x

）^r=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

；
則第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值為|T_r+1|=C_n^r•3^n-r，
M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，則n=4；
則(3x-

x

)n的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=（-1）^rC₄^r•3^4-r•x

8-3r

2

；
分析可得，r=0、2、4時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
則展開式中x的有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為3；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于得到各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的表達(dá)式，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理求出M的值．