Question

已知F₁，F(xiàn)₂是兩個定點，橢圓C₁和等軸雙曲線C₂都以F₁，F(xiàn)₂為焦點．點P是C₁和C₂的一個交點，且

PF1

•

PF2

=0，那么橢圓C₁的離心率為（　�。�

• A．

  6

  3

• B．

  3

  2

• C．

  2

  2

• D．

  2 2

  3

Answer 1

分析：設等軸雙曲線的半實軸長為

c

2

，F(xiàn)₁P=x，F(xiàn)₂P=y，不妨設x＞y，通過雙曲線的定義，得到一個方程，利用

PF1

•

PF2

=0得到圓的一個方程，求出x，y；通過橢圓的定義，求出橢圓的離心率．

解答：解：設等軸雙曲線的半實軸長為

c

2

，F(xiàn)₁P=x，F(xiàn)₂P=y，不妨設x＞y，則x-y=

2c

2

…①，
又

PF1

•

PF2

=0，∴∠F₁PF₂=90°，所以x²+y²=（2c）²，…②，解①②得x=

3 +1

2

c，y=

3 -1

2

c，
再根椐橢圓定義，2a=x+y=

2 3

2

c，（2a表示橢圓長軸長），得e=

c

a

=

6

3

．
故選A．

點評：本題是中檔題，考查橢圓與雙曲線的關系，注意橢圓與雙曲線的定義的應用是解題的關鍵，考查計算能力．