Question

某同學(xué)高三階段12次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢(shì)；現(xiàn)有三種函數(shù)模型．①f（x）=pq^x，②f（x）=log_q^x+q，③f（x）=（x-1）（x-q）²+q（其中p，q為正常數(shù)，且q＞2）．較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績(jī)與考試序次關(guān)系，應(yīng)選

 

作為模擬函數(shù)；若f（1）=4，f（3）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式

 

．

Answer 1

分析：（1）欲找出能較準(zhǔn)確反映數(shù)學(xué)成績(jī)與考試序次關(guān)系的模擬函數(shù)，主要依據(jù)是呈現(xiàn)前幾次與后幾次均連續(xù)上升，中間幾次連續(xù)下降的趨勢(shì)，故可從三個(gè)函數(shù)的單調(diào)上考慮，前面兩個(gè)函數(shù)沒有出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，應(yīng)選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績(jī)模擬函數(shù)．
（2）由題中條件：f（1）=4，f（3）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=pq^x，f（x）=log_q^x+q是單調(diào)函數(shù)，f（x）=（x-1）（x-q）²+q中，
f′（x）=3x²-（4q+2）+q²+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=

q+2

3

，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可以出現(xiàn)兩個(gè)遞增區(qū)間和一個(gè)遞減區(qū)間，所以應(yīng)選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其成績(jī)模擬函數(shù)．
（2）①由f（1）=4，f（3）=6，得

p=4 2(3-q)2 又q＞2

+p=6得

p=4 q=4

f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
故答案為：f（x）=（x-1）（x-q）²+p；f（x）=x³+9x²+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．