【題目】過拋物線外一點(diǎn)M作拋物線的兩條切線,兩切點(diǎn)的連線段稱為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦已知拋物線為,點(diǎn)P,Q在直線l:
上,過P,Q兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦分別為AB,CD
當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí),直線AB是否經(jīng)過某一定點(diǎn),若有,請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);如果沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由
當(dāng)
時(shí),點(diǎn)P,Q在什么位置時(shí),
取得最小值?
【答案】(1)直線AB經(jīng)過定點(diǎn) ;(2)當(dāng)
,
時(shí),
取得最小值4.
【解析】
設(shè)
,
,
,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出直線PA,PB的方程可得,可得直線AB的方程進(jìn)而求出定點(diǎn).
設(shè)
,
,根據(jù)
可得
,妨設(shè)
,則
,且
,
,根據(jù)基本不等式即可求出.
解:設(shè)
,
,
,
則,
,
拋物線的方程可變形為,則
,
直線PA的斜率為
,
直線PA的方程
,化簡(jiǎn)
,
同理可得直線PB的方程為,
由可得
,
直線AB的方程為
,則
是方程的解,
直線AB經(jīng)過定點(diǎn)
.
設(shè)
,
,
由可知
,
,
,
,即
,
,
異號(hào),
不妨設(shè),則
,且
,
,當(dāng)且僅當(dāng)
,
時(shí)取等號(hào),
即當(dāng),
時(shí),
取得最小值4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知五邊形ABECD有一個(gè)直角梯形ABCD與一個(gè)等邊三角形BCE構(gòu)成,如圖1所示,,且
,將梯形ABCD沿著BC折起,形成如圖2所示的幾何體,且
平面BEC.
求證:平面
平面ADE;
求二面角
的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=1,AC=CD=DA=2,動(dòng)點(diǎn)M在邊DC上(不同于D點(diǎn)),P為邊AB上任意一點(diǎn),沿AM將△ADM翻折成△AD'M,當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時(shí),線段PD'長(zhǎng)度的最小值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)和
是關(guān)于
的方程
的兩個(gè)虛數(shù)根,若
、
、
在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,那么實(shí)數(shù)
_______________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別是
,
,點(diǎn)
在橢圓上,過該橢圓上任意一點(diǎn)P作
軸,垂足為Q,點(diǎn)C在
的延長(zhǎng)線上,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線(C點(diǎn)不同A、B)與直線
交于R,D為線段
的中點(diǎn),證明:直線
與曲線E相切;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)
、直線
,我們稱
為點(diǎn)
到直線
的方向距離.
(1)設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)
到直線
,
的方向距離分別為
,求
的值;
(2)設(shè)點(diǎn)、到直線
的方向距離分別為
,試問是否存在實(shí)數(shù)
,對(duì)任意的
都有
成立?說(shuō)明理由;
(3)已知直線和橢圓
,設(shè)橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)
到直線
的方向距離分別為
滿足
,且直線
與
軸的交點(diǎn)為
、與
軸的交點(diǎn)為
,試比較
的長(zhǎng)與
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓的方程為
,圓
的方程為
,若動(dòng)圓
與圓
內(nèi)切,與圓
外切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡
的方程;
(Ⅱ)過直線上的點(diǎn)
作圓
的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)分別是
,
,若直線
與軌跡
交于
,
兩點(diǎn),求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)
是圓
上的任意一點(diǎn),設(shè)
為該圓的圓心,并且線段
的垂直平分線與直線
交于點(diǎn)
.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
,點(diǎn)
是直線
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線
分別交(1)中點(diǎn)
的軌跡于
兩點(diǎn)(
四點(diǎn)互不相同),證明:直線
恒過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線
:
,過點(diǎn)
的直線
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)),直線
與曲線
分別交于
、
兩點(diǎn).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線
的普通方程;
(2)求線段的長(zhǎng)和
的積.
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