Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°CD∥AB，AB=2

2

，AD=CD=

2

，M為AB的中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．

（1）求證：DC⊥AD；
（2）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出BC⊥面ADC，由此能證明BC⊥AD．
（2）取取AC中點(diǎn)O，連OD，OM，以O(shè)為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-CD-M的余弦值．

解答： （1）證明：∵面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，
BC?面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥面ADC．…（3分）
∵AD?面ADC，∴BC⊥AD．…（4分）
（2）取取AC中點(diǎn)O，連OD，OM，
∴AO=OC，AM=MB，∴OM∥BC，且OM=

1

2

BC，
∵BC⊥AC，∴OM⊥AC，
∵AD=DC，AO=OC，∴OD⊥AC，
∵BC⊥面ADC，OC?面ADC，
∴OD⊥BC，∵BC∥OM，∴OD⊥OM，
∴OD，OA，OM三條線兩兩垂直，…（6分）
以O(shè)為空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（1，0，0），M（0，1，0），C（-1，0，0），B（-1，2，0），D（0，0，1），…（8分）
∴

MC

=(-1，-1，0)，

MD

=(1，1，0)，
由題意知面ACD法向量

m

=（0，1，0），
設(shè)平面MCD法向量

n

=(x，y，z)，
則 

MC • n =-x-y=0 MD • n =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，-1），…（10分）
∴cos＜

m

，

n

＞=-

3

3

，…（11分）
∴二面角A-CD-M的余弦值為

3

3

．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．