Question

【題目】已知a，b，c，d∈E，證明下列不等式：
（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；
（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）

=（ad﹣bc）2≥0，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立

（2）證明：a2+b2+c2

= （a2+b2+c2+a2+b2+c2）

≥ （2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca

【解析】（1）根據(jù)不等式的左邊減去右邊化簡結(jié)果為 （ad﹣bc）2≥0，可得不等式成立（2）從不等式的左邊入手，左邊對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的二倍，分別寫成兩兩相加的形式，在三組相加的式子中分別用均值不等式，整理成最簡形式，得到右邊的2倍，兩邊同時(shí)除以2，得到結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用不等式的證明的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．