Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求ϕ和ω的值．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）是偶函數(shù)可得ϕ的值，圖象關(guān)于點對稱可得函數(shù)關(guān)系，可得ω的可能取值，結(jié)合單調(diào)函數(shù)可確定ω的值．
解答：解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
對任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依題設(shè)0＜∅＜π，所以解得∅=，
由f（x）的圖象關(guān)于點M對稱，
得，
取x=0，得f（）=sin（）=cos，
∴f（）=sin（）=cos，
∴cos=0，又w＞0，
得=+kπ，k=1，2，3，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
當(dāng)k=0時，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是減函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)k=2時，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)；
所以，綜合得ω=或2．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力．