Question

已知函數(shù)f(x)=2a-

1

3x+1

（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，對(duì)應(yīng)的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；
（2）直接根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)的值域按單調(diào)性的證明過程即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：(2a-

1

3-x+1

)+(2a-

1

3x+1

)=0，
則有：4a-

3x

3-x?3x+1?3x

-

1

3x+1

=0，
即：4a-

3x+1

3x+1

=0，
∴4a-1=0，a=

1

4

；
（2）f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(2a-

1

3x1+1

)-(2a-

1

3x2+1

)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，
即：3x1-3x2＜0．
又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合．解決問題的關(guān)鍵在于把問題轉(zhuǎn)化為f（-x）+f（x）=0恒成立求出a的值．