Question

在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊和斜邊上的高分別為c、h，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)勾股定理和三角形面積公式，將化為關(guān)于a、b的表達(dá)式，利用基本不等式可得＞1．再設(shè)=t，則可將表示成關(guān)于t的函數(shù)f（t），研究f（t）的單調(diào)性得到在區(qū)間（0，）上f（t）是增函數(shù)，從而得到f（t）的最大值是f（）=．由此即可得到的取值范圍．
解答：解：∵直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，
∴斜邊c=，斜邊上的高h(yuǎn)==，
因此，=
∵≥=，≥1
∴＞1（等號(hào)取不到），即
又=+•
設(shè)=t，則=，=
可得f（t）=+，（0＜t）
∵在區(qū)間（0，）上f'（t）＞0，
∴f（t）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)，可得當(dāng)0＜t時(shí)，f（t）的最大值為f（）=
綜上所述，的取值范圍是（1，]
故答案為：（1，]
點(diǎn)評(píng)：本題在直角三角形中，求斜邊與斜邊上高之和與兩條直角邊之和的比值范圍．著重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．