Question

已知函數(shù)：f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）證明：f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f（x）的定義域為[a+

1

2

，a+1]時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]；
（3）若a＞

1

2

，函數(shù)g（x）=x²+|（x-a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=

1

a-x

-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，與x取值無關(guān)得證；
（2）由定義域為[a+12，a+1]，得-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，再由f（x）=

1

a-x

-1即可求解．
（3）根據(jù)題意，可得g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），進而分①x≥a-1且x≠a與②x≤a-1兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出每種情況下f（x）的最小值，綜合可得答案．

解答：（1）證明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

=

1

a-x

-1，
∴f（2a-x）=

1

a-[2a-x]

-1=-

1

a-x

-1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=

1

a-x

+（-

1

a-x

）-2+2=0，與x取值無關(guān)．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）證明：∵f（x）的定義域為[a+

1

2

，a+1]，
∴-1-a≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
又f（x）=

1

a-x

-1，
∴-3≤

1

a-x

-1≤-2，即f（x）的值域為[-3，-2]．
（3）解：函數(shù)g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），
①當(dāng)x≥a-1且x≠a時，g（x）=x²+x+1-a=（x+

1

2

）²+

3

4

-a，
當(dāng)a＞

1

2

時，a-1＞-

1

2

，函數(shù)在[a-1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
②當(dāng)x≤a-1時，g（x）=x²-x-1+a=（x-

1

2

）²+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

時，g（x）_min=g（

1

2

）=a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

時，g（x）在（-∞，a-1）上為減函數(shù)，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
當(dāng)a＞

3

2

時，（a-1）²-（a-

5

4

）=（a-

3

2

）²＞0，
綜合可得，當(dāng)

1

2

＜a≤

3

2

時，g（x）的最小值是（a-1）²；
當(dāng)a＞

3

2

時，g（x）的最小值是a-

5

4

．

點評：本題考查函數(shù)的最值的求法及其意義，（2）關(guān)鍵在于對f（x）的化簡，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行分類討論求g（x）的最值．