Question

f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（　�。�

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

，然后，判斷得到該函數(shù)為奇函數(shù)，然后求解導(dǎo)數(shù)，得到該函數(shù)值為負(fù)數(shù)時，自變量的取值，也是就是所求的不等式的解集．

解答： 解：設(shè)函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

，
∵F（-x）=

f(-x)

g(-x)

=

-f(x)

g(x)

=-F（x），
∴函數(shù)F（x）R上的奇函數(shù)，
當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，
∴F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，F(xiàn)（-2）=0，
∴F（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，且F（-2）=0，
∴當(dāng)x∈（-2，0）時，F(xiàn)（x）＜0，此時，f（x）g（x）＜0；
∵函數(shù)F（x）R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（2，+∞）時，F(xiàn)（x）＜0，此時，f（x）g（x）＜0；
綜上，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系等知識，本題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用其奇偶性以及單調(diào)性解答．