Question

如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.

(1)當正視方向與向量的方向相同時,畫出四棱錐PABCD的正視圖(要求標出尺寸,并寫出演算過程);
(2)若M為PA的中點,求證:DM∥平面PBC;
(3)求三棱錐DPBC的體積.

Answer 1

（1）見解析  （2）見解析  （3）8

解:(1)在梯形ABCD中,過點C作CE⊥AB,垂足為E.

由已知得,四邊形ADCE為矩形,
AE=CD=3,
在Rt△BEC中,
由BC=5,CE=4,
依勾股定理得
BE=3,

從而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD,
得PD⊥AD,
從而在Rt△PDA中,
由AD=4,∠PAD=60°,
得PD=4.
正視圖如圖所示.
(2)取PB中點N,
連接MN,CN.
在△PAB中,
∵M是PA中點,

∴MN∥AB,MN=AB=3,
又CD∥AB,CD=3,
∴MN∥CD,MN=CD,
∴四邊形MNCD為平行四邊形,
∴DM∥CN.
又DM平面PBC,
CN?平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
(3)==S_△DBC·PD,
又S_△DBC=6,PD=4,
所以=8.