Question

已知雙曲線與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1共焦點，且以y=±

4

3

x為漸近線．
（1）求雙曲線方程．
（2）求過雙曲線右焦點且傾斜角為

π

3

的直線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合以y=±

4

3

x為漸近線，求出a，b，即可得到雙曲線方程．
（2）求出直線的斜率，可得過雙曲線右焦點且傾斜角為

π

3

的直線方程．

解答： 解：（1）橢圓的焦點坐標(biāo)為（±5，0），設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)…（1分）
則漸近線方程為y=±

b

a

x，
所以

a2+b2=25 b a = 4 3

…（4分）
解得

a2=9 b2=16

…（6分）
則雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1…（7分）
（2）∵直線的傾斜角為

π

3

，
∴直線的斜率為

3

，…（9分）
故直線方程為y=

3

（x-5）…（11分）
即

3

x-y-5

3

=0…（12分）

點評：本題考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)與方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．