Question

內(nèi)接于單位圓O的銳角△ABC中，已知角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且

OA

•

OB

=-

1

2

，求∠C的大小及邊c的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形

分析：首先運(yùn)用平面向量的數(shù)量積定義，求出∠AOB，根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，求出∠C，再根據(jù)正弦定理求出邊c的值．

解答： 解：如圖內(nèi)接于單位圓O的銳角△ABC，
且

OA

•

OB

=-

1

2

，
∴|

OA

|=|

OB

|=1，|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=-

1

2

，
∴∠AOB=

2π

3

，
由同圓中同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得
∠C=

π

3

，
再由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴c=2sinC=2×sin

π

3

=

3

．
∴∠C=

π

3

，c=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理以及應(yīng)用，同時(shí)考查平面向量的數(shù)量積定義和同圓的同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，熟悉這些對(duì)解題很有幫助．