如圖，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。

(1)問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQQD?并說(shuō)明理由；

(2)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD,求這時(shí)二面角Q的正切。

 

 

【答案】

(1)(如圖)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，

則Q,P(0,0,1),D得,

由,有,得          ①

若方程①有解,必為正數(shù)解，且小于。

由,,得。

(i)當(dāng)時(shí)，BC上存在點(diǎn)Q,使PQQD；

(ii)當(dāng)時(shí)，BC上不存在點(diǎn)Q，使PQQD。

(2)要使BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使PQQD,則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根,

這時(shí),，得,有。

又平面APD的法向量，設(shè)平面PQD的法向量為

而，，

由,得，解得

有，則，則。

所以二面角的正切為。   

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：名師指點(diǎn)學(xué)高中課程 數(shù)學(xué) 高二（下） 題型：044

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，使B點(diǎn)在平面ADC內(nèi)的射影恰好落在AD上，求：

(1)異面直線AB與CD成的角；

(2)異面直線AB與CD的距離；

(3)二面角B－AC－D的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用，以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問(wèn)中，利用連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問(wèn)中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問(wèn)中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn)  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過(guò)C作該圓的切線，交AD的延長(zhǎng)線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知幾何體ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABEF為矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O為AB中點(diǎn).

（1）求證：AB⊥平面DCO

（2）若M為CD中點(diǎn)，AF=x，則當(dāng)x取何值時(shí)，使AM與平面ABEF所成角為45°？

試求相應(yīng)的x值的.

（3）求該幾何體在(2)的條件下的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011屆江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
A、選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過(guò)C作該圓的切線，交AD的延長(zhǎng)線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換
已知為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。
C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
D、選修4-5：不等式選講
已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案