Question

函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，?x∈R恒有f（x+4）=f（x）-f（2），且當(dāng)x∈（-2，0]時，f（x）=（

1

2

）^x-1，若g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在區(qū)間（-2，6]上恰有3個零點，則a的取值范圍是（　�。�

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意中f（x+4）=f（x）-f（2），可得函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則可得f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結(jié)合方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，可將方程f（x）-log_ax+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）-f（2），
∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=(

1

2

)x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象如下圖所示：
若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解
則log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
即a的取值范圍是（

3	4

，2）；
故選：D．

點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，關(guān)鍵是根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題．