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設函數f（x）=x2+aln（x+1）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當a=時，判斷方程f（x）=-的實數根的個數，并說明理由．
【答案】分析：（1）題目中條件：“在R上有兩個極值點”，即導函數有兩個零點．從而轉化為二次函數f′（x）=0的實根的分布問題，利用二次函數的圖象令判別式大于0在-1處的函數值大于0即可．
（2）由a=可知x1=-，x2=-，從而知函數f（x）在（-1，-）上單調遞增，在（-，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增．下面分別討論函數f（x）在（-1，-]和在（-，-）上實根的情況，即可證得方程f（x）=-有且只有一個實數根．
解答：解：（1）由題意，1+x＞0
由f（x）=x2+aln（x+1）可得f′（x）=2x+=．
∵f（x）=ax3+x恰有有兩個極值點，
∴方程f′（x）=0必有兩個不等根，
即2x2+2x+a=0的兩個均大于-1的不相等的實數根，其充要條件為，
解得0＜a＜；

（2）由a=可知x1=-，x2=-，從而知函數f（x）在（-1，-）上單調遞增，在（-，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增．
①由f（x）在（-1，-]上連續(xù)、單調遞增，且
f（-）=（-）2+ln（-+1）=-ln2＞-，
以及f（-1+）=（-1+）2+ln（）=--+＜-，故方程f（x）=-
在（-1，-]有且只有一個實根；
②由于f（x）在（-，-）上單調遞減，在（-，+∞）上單調遞增，因此f（x）在（-，+∞）上的最小值，
f（-）=（-）2+ln（-+1）=-+ln＞-，故方程f（x）=-在（-，+∞）沒有實數根．
綜上可知，方程f（x）=-有且只有一個實數根．
點評：本題主要考查函數的導數、極值等基礎、根的存在性及根的個數判斷等基本知識，考查計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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設函數f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
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．

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1x+1
）．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范圍．

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（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，求實數m的值；
（2）當m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數解，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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