【題目】已知四棱錐中,平面平面,且

是等邊三角形, .

(1)證明: 平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1) 見解析. (2) .

【解析】試題分析:(1)根據(jù)計算可得,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面,即得, 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設(shè)立各點坐標,列方程組解得各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果

試題解析:(1)在中, ,所以,

是等邊三角形,所以,所以,即,

又因為平面平面,平面 平面,所以平面,故.在中, .

所以.

又因為 ,所以平面.

(2)解法一:如圖,取的中點,連接.則在等腰中, .又因為平面平面,平面 平面,所以平面.過點的平行線,則平面.

由(1)知,故以為坐標原點,以直線分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.設(shè),則在中, , .

又在中, ,

所以,故.

又因為是等邊三角形,所以.

所以, , , ,即.

所以, , .

設(shè)平面的法向量為,則由,

.

,得.故為平面的一個法向量.

因為平面,故為平面

的一個法向量.

.

設(shè)二面角,則由圖可知,

所以.

解法二:取的中點,連接,連接并延長,交,連接.則在等腰中, .

又因為平面平面,平面平面,

所以平面.

設(shè),則在中, .

又在中,

所以

,故.

中, ,所以,且.

,又,且,

所以,故.

又因為平面,由三垂線定理可得,

所以為二面角的平面角.

中, ,所以.

.所以在中, ,

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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