Question

10．時(shí)鐘上自7點(diǎn)整到分針與時(shí)針第一次重合，求分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)．如果分針長11cm，求分針轉(zhuǎn)過扇形的面積．

Answer 1

分析 解決這個(gè)問題就要弄清楚時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的關(guān)系：每一小時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)2π，而時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)$\frac{π}{6}$，即分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)$\frac{π}{30}$，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)$\frac{π}{360}$，7點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針之間的夾角是$\frac{π}{6}$×7=$\frac{7π}{6}$，當(dāng)時(shí)針和分針第一次重合時(shí)，實(shí)際上是分針比時(shí)針多走$\frac{7π}{6}$，依據(jù)這一關(guān)系列出方程即可求解．

解答 解：設(shè)從7點(diǎn)開始，經(jīng)過x分鐘，時(shí)針和分針第一次重合，由題意得：
$\frac{π}{30}$x-$\frac{π}{360}$x=$\frac{7π}{6}$，
$\frac{11π}{360}$x=$\frac{7π}{6}$，
解得：x=$\frac{420}{11}$；
至少再經(jīng)過$\frac{420}{11}$分鐘時(shí)針和分針第一次重合．
故分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：α=$\frac{420}{11}$×$\frac{π}{30}$=$\frac{14π}{11}$．
分針轉(zhuǎn)過扇形的面積為：S=$\frac{1}{2}$r²α=$\frac{1}{2}×$11²×$\frac{14π}{11}$=77π cm²．

點(diǎn)評(píng) 鐘表上的分鐘與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追及問題非常相似，行程問題中的距離相當(dāng)于這里的角度，行程問題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)（分）針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度．