(2012•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x-
π
3
)

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知f(A)=
3
2
a=
3
b
,試判斷△ABC的形狀.
分析:(Ⅰ)將f(x)解析式第二項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn),整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可得到f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)由第一問(wèn)確定的函數(shù)解析式及f(A)=
3
2
,求出sin(A-
π
6
)的值,由A的范圍求出A-
π
6
的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù),再由a=
3
b,利用正弦定理求出sinB的值,由a大于b,利用三角形的邊角關(guān)系得出A大于B,利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù),進(jìn)而確定出C的度數(shù),判定出三角形ABC的形狀.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=sinx+sin(x-
π
3
)=sinx+
1
2
sinx-
3
2
cosx
=
3
2
sinx-
3
2
cosx=
3
3
2
sinx-
1
2
cosx)
=
3
sin(x-
π
6
),
由2kπ-
π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,
解得:2kπ-
π
3
≤x-
π
6
≤2kπ+
3
,k∈Z,
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-
π
3
,2kπ+
3
],k∈Z;
(Ⅱ)∵f(A)=
3
sin(A-
π
6
)=
3
2
,
∴sin(A-
π
6
)=
1
2

∵0<A<π,∴-
π
6
<A-
π
6
6
,
∴A=
π
3
,又a=
3
b,
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得:sinB=
1
2
,
又a>b,A=
π
3
,
∴B=
π
6
,
∴C=
π
2

則△ABC為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形形狀的判定,涉及的知識(shí)有:正弦定理,正弦函數(shù)的單調(diào)性,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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(Ⅰ)求直方圖中x的值;
(Ⅱ)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿,請(qǐng)估計(jì)學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿;
(Ⅲ)從學(xué)校的新生中任選4名學(xué)生,這4名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中新生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率)

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x2
9
-
y2
16
=1
的右焦點(diǎn),且平行于經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線的直線方程是(  )

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a+2i1-i
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2
2

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