Question

4．某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究后，得到以下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
②存在實(shí)數(shù)x，使得|f（x）|＞|x|成立；
③函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)距離相等；
④當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①易知f（-x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)，從而可判斷①的正誤；
②由|sinx|≤1即可判斷②的正誤；
③當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，sinx=1或-1，可判斷故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，但任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等不相等，從而可判斷③的正誤；
④當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)為（0，0），從而可得答案

解答 解：①∵f（-x）=-xsin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即y=f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形，故①正確；
②∵|sinx|≤1，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|f（x）|≤|x|均成立，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，sinx=1或-1，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)，但任意相鄰兩點(diǎn)的距離不相等（任意相鄰兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)距離相等），故③錯(cuò)誤；
④∵|f（x）|≤|x|，
∴當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0），故④正確；
綜上所述，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④，
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，牢記基本知識(shí)，基本性質(zhì)是解好數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵，屬于中檔題．