Question

如圖是正方體的表面展開圖，在這個正方體中有如下命題：
①AF∥NC；
②BE與NC是異面直線；
③AF與DE成60°角；
④AN與ME成45°角．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A、3個
• B、2個
• C、1個
• D、0個

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：先由正方體的表面展開圖，將正方體還原，再根據(jù)空間直線的位置關(guān)系及異面直線所成角的定義探求題中給出的4個命題的真假．

解答： 解：根據(jù)正方體的表面展開圖，可畫出正方體直觀圖，如右圖所示．
易知AF與NC異面，故①錯；
由四邊形BENC為平行四邊形可知，BE∥NC，故②錯；
∵DE∥FC，∴AF與DE所成角即為AF與FC所成角，
而在等邊三角形AFC中，AF與FC所成角為60°，故③對；
同理，由ME∥CA知，AN與ME所成角即為AN與CA所成角，
在等邊三角形ANC中，AN與CA所成角為60°，故④錯；
所以正確的命題有且只有1個，選C．

點評：1．已知幾何體的平面展開圖，探求原幾何體中直線的位置關(guān)系或夾角問題，不能直接根據(jù)平面展開圖下結(jié)論，應(yīng)先將原幾何體還原，在空間中分析．
2．證明空間兩直線平行的常見方法有：
①同位角相等，或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補．
②公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行．
③構(gòu)造或?qū)ふ抑形痪�（三角形、平行四邊形、梯形的中位線）、利用平行直線截線段成比例．常用手段是獲取分點或中點，中點可借助平行四邊形對角線的交點、等腰三角形底邊中點等，必要時應(yīng)添加輔助線．
④平行四邊形的性質(zhì)（對邊互相平行）．
3．求兩異面直線所成角的常用方法是，先將兩異面直線中的一條或兩條平移至相交，將空間角轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成角，再把這個角放在一個三角形中，解此三角形即可．