Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）當(dāng)a=4，2≤x≤5，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）若x≥a，試求f（x）+3＞0的解集；
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤2x-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4時(shí)，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_max=6（2分）
②當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=12
綜上所述，當(dāng)x=2或4時(shí)，f（x）_min=5；
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=12（4分）
（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，（6分）
當(dāng)a＞2時(shí)，x＞a-2，或x＜0，因?yàn)閍＞a-2，所以x≥a；
當(dāng)a=2時(shí)，得x≠0，所以x≥a；
當(dāng)a＜2時(shí)，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，
則x≥a；②若a≤0，則x＞0
綜上可知：當(dāng)a＞0時(shí)，所求不等式的解集為[a，+∞）；（10分）
當(dāng)a≤0時(shí)，所求不等式的解集為（0，+∞）（12分）
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤2x-2
即x•|x-a|≤1?-

1

x

≤x-a≤

1

x

?x-

1

x

≤a≤x+

1

x

（14分）
因?yàn)?span mathtag="math" >x-

1

x

在x∈[1，2]上增，最大值是2-

1

2

=

3

2

，
x+

1

x

在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需

3

2

≤a≤2．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

3

2

≤a≤2．