Question

已知函數(shù)f(x)=

x4+kx2+1

x4+x2+1

(k，x∈R)．則f（x）的最大值與最小值的乘積為

k+2

3

．

Answer 1

分析：利用分子常數(shù)法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=

x4+kx2+1

x4+x2+1

=1+

(k-1)x2

x4+x2+1

，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=1
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

，
∵x2+

1

x2

+1≥2+1=3，
∴0＜

1

x2+ 1 x2 +1

≤

1

3

，
若k＞1，
則0＜

k-1

x2+ 1 x2 +1

≤

k-1

3

，
∴1＜1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

≤

k+2

3

，
∴此時(shí)1≤f(x)≤

k+2

3

．
當(dāng)k＜1時(shí)，

k-1

3

≤

k-1

x2+ 1 x2 +1

＜0，
∴

k+2

3

≤1+

k-1

x2+ 1 x2 +1

＜1，
此時(shí)

k+2

3

≤f(x)≤1．
即當(dāng)k≥1時(shí)，f(x)max=

k+2

3

，f(x)min=1；
當(dāng)k＜1時(shí)，f(x)min=

k+2

3

，f(x)max=1．
因此f(x)min•f(x)min=

k+2

3

．
故答案為：

k+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的最值的求法，利用分?jǐn)?shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)應(yīng)對(duì)k要進(jìn)行分類討論．