Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{1}{2}$mx²-2m²x-4有極大值-$\frac{2}{5}$，（m為非零常數(shù)），求m的值．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個(gè)根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況的表格，求出極大值，列出方程求出m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+$\frac{1}{2}$mx²-2m²x-4，
∴f′（x）=3x²+mx-2m²=（x+m）（3x-2m）=0，則x=-m或x=$\frac{2}{3}$m，
當(dāng)m＞0，x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-m）	-m	（-m，$\frac{2}{3}$m）	$\frac{2}{3}$m	（$\frac{2}{3}$m，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	增	極大值	減	極小值	增

從而可知，當(dāng)x=-m時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值-$\frac{2}{5}$，
即f（-m）=-m³+$\frac{1}{2}$m³+2m³-4=-$\frac{2}{5}$，
∴m=$\root{3}{\frac{12}{5}}$．
當(dāng)m＜0，x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，$\frac{2}{3}$m）	$\frac{2}{3}$m	（$\frac{2}{3}$m，-m）	-m	（-m，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	增	極大值	減	極小值	增

從而可知，當(dāng)x=$\frac{2}{3}$m時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值-$\frac{2}{5}$，
即f（$\frac{2}{3}$m）=（$\frac{2}{3}m$）³+$\frac{1}{2}$m•（$\frac{2}{3}m$）²-2m²（$\frac{2}{3}m$）-4=-$\frac{2}{5}$，
∴m=$-\root{3}{\frac{9}{55}}$．
故答案為：$\root{3}{\frac{12}{5}}$或$-\root{3}{\frac{9}{55}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟：求出導(dǎo)數(shù)；令導(dǎo)數(shù)為0求出根；列出表格判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)；求出極值．