（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）已知點A是曲線ρ=2sinθ上任意一點，則點A到直線ρsin(θ+
π
3
)=4的距離的最小值是
5
2
5
2
．
（B）（選修4-5不等式選講）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，則
x+2y
xy
的最小值是
9
9
．
（C）（選修4-1幾何證明選講）若直角△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，則△ABC的面積為
2
2
．
分析：（A）把極坐標方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式求出圓心（0，1）到直線的距離，此距離減去半徑即為所求．
（B）先對
x+2y
xy
=
1
y
+
2
x
再將它乘以1結果保持不變，將2x+y=1看為一個整體代入得（
1
y
+
2
x
）×1=（
1
y
+
2
x
）×（2x+y），再展開后運用基本不等式可求得最小值．
（C）設內(nèi)切圓半徑為r，由勾股定理可得（1+r）2+（2+r）2=9，可得r2+3r=2，再根據(jù)△ABC的面積為
1
2
×（1+r）（2+r），運算求得結果．
解答：解：（A）曲線ρ=2sinθ化為直角坐標方程為x2+（y-1）2=1，直線ρsin（θ+
π
3
）=4化為直角坐標方程為
3
x+y-8=0．
圓心（0，1）到直線的距離為 d=
|0+1-8|
3+1
=
7
2
．則圓上的點到直線的最小距離為
7
2
-1=
5
2
．
即點A到直線ρsin（θ+
π
3
）=4的最小距離為
5
2
．
（B）解：∵2x+y=1，
∴
x+2y
xy
=
1
y
+
2
x
=（
1
y
+
2
x
）×（2x+y）=5+
2x
y
+
2y
x
≥5+4=9
當且僅當
2x
y
=
2y
x
時等號成立，
則
x+2y
xy
的最小值是 9．
（C）由于直角△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點D，且AD=1，BD=2，設內(nèi)切圓半徑為r，
則由勾股定理可得（1+r）2+（2+r）2=9，∴r2+3r=2．
△ABC的面積為
1
2
×（1+r）（2+r）=
1
2
（r2+3r+2）=2，
故答案為：
5
2
；9；2．
點評：A：本題考查把極坐標方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系．
B：本題考查基本不等式常見的變形形式與運用，如本題中，1的代換．在運用基本不等式時，要注意“一正、二定、三相等”的要求．
C：本題主要考查絕對值不等式的解法，直線和圓相交的性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)、圓的參數(shù)方程，以及三角形中的幾何計算，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）不等式|x+1|≥|x+2|的解集為
 
．
B．（幾何證明選做題）如圖所示，過⊙O外一點P作一條直線與⊙O交于A，B兩點，
已知PA=2，點P到⊙O的切線長PT=4，則弦AB的長為
 
．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）若直線3x+4y+m=0與圓
x=1+cosθ
y=-2+sinθ
（θ為參數(shù)）沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（三選一，考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
（1）（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
（θ為參數(shù)），則圓C的普通方程為
(x-1)2+(y-
3
)2=4
(x-1)2+(y-
3
)2=4
．
（2）（不等式選講選做題）設函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|，則不等式f（x）＞2的解集為
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
{x|x＜-7或x＞
5
3
}
．
（3）（幾何證明選講選做題） 如圖所示，等腰三角形ABC的底邊AC長為6，其外接圓的半徑長為5，則三角形ABC的面積是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（A）（幾何證明選做題）如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點B在圓O上，BC=2，∠BCD=30°，則圓O的面積為
4π
4π
；
（B）（極坐標系與參數(shù)方程選做題）極坐標方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲線截θ=
π
4
(ρ∈R)所得的弦長為
3
2
3
2
；
（C）（不等式選做題）  不等式|2x-1|＜|x|+1解集是
（0，2）
（0，2）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則EC=
4
4
．
B． P為曲線C1：
x=1+cosθ
y=sinθ
，（θ為參數(shù)）上一點，則它到直線C2：
x=1+2t
y=2
（t為參數(shù)）距離的最小值為
1
1
．
C．不等式|x2-3x-4|＞x+1的解集為
{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（考生注意：請在下列二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分．）
（A）（選修4-4坐標系與參數(shù)方程）曲線
x=cosα
y=a+sinα
（α為參數(shù)）與曲線ρ2-2ρcosθ=0的交點個數(shù)為
 
個．
（B）（選修4-5不等式選講）若不等式|x+1|+|x-3| ≥a+
4
a
對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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