Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是數(shù)學(xué)歸納法，我們可以先驗證①n=1時命題是否成立②假設(shè)n=k時命題成立③推證n=k+1時命題成立→得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時，a²+（a+1）=a²+a+1可被a²+a+1整除
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時，a^k+1+（a+1）^2k-1能被a²+a+1整除，則當(dāng)n=k+1時，
a^k+2+（a+1）^2k+1=a•a^k+1+（a+1）²（a+1）^2k-1
=a[a^k+1+（a+1）^2k-1]+（a²+a+1）（a+1）^2k-1，
由假設(shè)可知a[a^k+1+（a+1）^2k-1]能被（a²+a+1）整除，
（a²+a+1）（a+1）^2k-1也能被（a²+a+1）整除
∴a^k+2+（a+1）^2k+1能被（a²+a+1）整除，即n=k+1時命題也成立，
∴對任意n∈N^*原命題成立．
點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．