Question

如圖，ABCD為直角梯形，AB⊥AD，四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，側面ADA₁⊥底面ABCD，AA₁=

2

，∠A₁AD=135°，AD=2，AB=BC=1．
（1）在線段AD上找一點O，使A₁O∥平面AB₁C，并說明理由；
（2）求平面ACB₁與平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）在AD上取AO=BC，由已知條件推導出四邊形A₁B₁CO是平行四邊形，從而A₁O∥B₁C，由此能證明A₁O∥平面AB₁C．
（2）以AB為x軸，AD為y軸，過A作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，分另求出平面AB₁C的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出平面ACB₁與平面ACB所成的銳二面角的余弦值．

解答： 解：（1）在AD上取AO=BC，∵ABCD為直角梯形，AB⊥AD，
∴AB

∥

.

AO，∴CO

∥

.

AB，∵四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴CO

∥

.

A₁B₁，∴四邊形A₁B₁CO是平行四邊形，
∴A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，∴A₁O∥平面AB₁C．
（2）以AB為x軸，AD為y軸，過A作垂直于平面ABCD的直線為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得A（0，0，0），C（1，1，0），B₁（1，-

2

2

，

2

2

），B（1，0，0），

AC

=（1，1，0），

AB1

=（1，-

2

2

，

2

2

），
設平面AB₁C的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB1 =x- 2 2 y+ 2 2 z=0 n • AC =x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，-

2

-1），又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
設平面ACB₁與平面ACB所成的銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

- 2 -1

5+2 2

|=

2 +1

5+2 2

．
∴平面ACB₁與平面ACB所成的銳二面角的余弦值為

2 +1

5+2 2

．

點評：本題考查使直線與平面平行的點的位置的判斷，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．