Question

已知等差數(shù)列{a_n}，若存在常數(shù)t，使得a_2n=ta_n對(duì)一切n∈N^*成立，則t的集合是（　　）

• A、{1}
• B、{1，2}
• C、{2}
• D、{

  1

  2

  ，2}

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：原問題可轉(zhuǎn)化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立，進(jìn)而可得答案．

解答：解：∵{a_n}是等差數(shù)列，a_2n=ta_n  
∴由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得a₁+（2n-1）d=t[a₁+（n-1）d]，
化簡(jiǎn)并整理得（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立．
∴

2d-td=0     ① (1-t)(a1-d)=0     ②

由①得t=2，結(jié)合②可得a₁=d，數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=nd，符合題意．
由②得t=1，結(jié)合①d=0，數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁數(shù)列為常數(shù)列，符合題意．
∴t可能取的值是 1，2
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列背景考查等式恒成立的條件，劃歸為（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 對(duì)一切n∈N^*均成立是關(guān)鍵，屬中檔題．