Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{blnx-a}{x}$（b≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)b的討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)極值得出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a+b-blnx}{{x}^{2}}$  x＞0
令f′（x）=0的x=${e}^{\frac{a+b}}$
令h（x）=a+b-blnx
當(dāng)b＞0時(shí)，h（x）遞減
x∈（0，${e}^{\frac{a+b}}$），h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增
x∈（${e}^{\frac{a+b}}$，+∞），h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減
當(dāng)b＜0時(shí)，h（x）遞增
x∈（0，${e}^{\frac{a+b}}$），h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）遞減
x∈（${e}^{\frac{a+b}}$，+∞），h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）遞增
（2）f（x）=$\frac{lnx-a}{x}$
由（1）知，x∈（0，e^a+1），f（x）遞增
x∈（e^a+1，+∞），f（x）遞減
f（e^a+1）=$\frac{1}{{e}^{a+1}}$位函數(shù)的極大值
函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e]上有公共點(diǎn)
當(dāng)a+1≤1即a≤0時(shí)
$\frac{1}{{e}^{a+1}}$≥1
∴a≤-1
當(dāng)a+1＞1即a＞0時(shí)
f（e）=$\frac{lne-a}{e}$≥1
∴a≤1-e不成立
故a的范圍為a≤-1

點(diǎn)評(píng) 考察了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值，通過(guò)極值判斷圖象的特征．