Question

16．設關(guān)于x的方程x²-2ax+a²-2a-3=0，試分別探究滿足下列條件的實數(shù)a的取值范圍．
（1）方程有實根；
（2）方程有兩正根；
（3）方程有一正一負根；
（4）兩根均大于0且小于1．

Answer 1

分析 （1）方程有實根，△≥0；
（2）方程有兩正根，△≥0，且對稱軸＞0，兩根積為正數(shù)；
（3）方程有兩不同根，△＞0，且兩根積為負數(shù)；
（4）方程有兩根，△≥0，且f（0）＞0，f（1）＞0．

解答 （1）由題意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）≥0，
     解得a≥-$\frac{3}{2}$
（2）由題意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）≥0，
    且$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-2a}{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}＞0}\end{array}\right.$，
    解得a＞3．
（3）由題意，△=（-2a）²-4×1×（a²-2a-3）＞0，
    且${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-2a-3}{1}＜0$，解得-1＜a＜3．
（4）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{△=（-2a）^{2}-4×1×（{a}^{2}-2a-3）＞0}\\{f（0）={a}^{2}-2a-3＞0}\\{f（1）={a}^{2}-4a-2＞0}\end{array}\right.$，
   且有$0＜x=-\frac{-2a}{2}＜1$，即0＜a＜1
   此時解得a是沒有實數(shù)解的．

點評 解決此類問題時，要找到兩根與系數(shù)的關(guān)系，同時不能漏掉題目隱含條件，以免出錯．